浮点数相等

¶IEEE浮点标准

V=(-1)^S\times M\times 2^E

• S是符号位
• E是阶码，对浮点数加权
• M是尾数，即二进制小数

float: 1位s，8位exp，23位frac

double：1位s，11位exp，52位frac

¶规格化值

exp不为全0，也不为全1。

$E = exp - Bias$，其中对于8位的exp，Bias为127，而对于11位的exp，Bias为1023。

$M = 1 + f$

FLT_EPSILON和DBL_EPSILON被定义为浮点表示中1.0的下一个，即最小的正整数$x$，满足$1.0 + x != 1.0$。

显然，当一个浮点数的数值越大，那么可用于表示小数的位数就越少，相邻的可表示浮点数间的间距也就越大。

¶浮点数相等判断

bool absoluteToleranceCompare(double x, double y) {
    return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon() ;
}
bool relativeToleranceCompare(double x, double y) {
    double maxXY = std::max( std::fabs(x) , std::fabs(y) ) ;
    return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon()*maxXY ;
}
bool combinedToleranceCompare(double x, double y) {
    double maxXYOne = std::max( { 1.0, std::fabs(x) , std::fabs(y) } ) ;
    return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon()*maxXYOne ;
}

使用绝对容忍对于小于等于1.0的数值是可行的，但是对于大于1.0的数值过于严格。使用相对容忍则对于小于1.0的数值过于容忍。

因此最好的方式是结合这两者。