G、Pikachu 问题转化+换根dp

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给定一棵n个点的树，定义一张完全图，$w(u, v) = dis(u, v)$，问你各对节点间的最大流的和$n \leq 10^5$最大流不好想，转化成最小割，那么s到t的最小割就是将完全图分成两个不连通的完全图，其中一个包含s，另一个包含t，然后要最大化这两个完全图内部的边权和。容易发现当其中一个点为孤立点，另一个为n-1个点的完全图是最优，相当于割去孤立点与其他n-1个点间的所有边。所以s与t间的最大流等于min(s与其他所有点在树上的距离和，t与其他所有点在树上的距离和)。我们可以通过换根dp求出每个节点与其他所有点在树上的距离和，然后从大到小排序后，每个的贡献就是(rank-1)次，粗略估算可以发现答案需要用__int128存储

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#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 5;
int n, sz[N];
vector<pii> G[N];
ll dp[N][2];
void dfs(int u, int fa)
{
  sz[u] = 1;
  for(auto it : G[u])
  {
    int v = it.fi, w = it.se;
    if(v==fa) continue;
    dfs(v, u);
    sz[u] += sz[v];
    dp[u][0] += dp[v][0] + w*sz[v];
  }
}
void dfs2(int u, int fa)
{
  for(auto it : G[u])
  {
    int v = it.fi, w = it.se;
    if(v==fa) continue;
    dp[v][1] = dp[u][0] - dp[v][0] - w*sz[v] + w*(sz[u] - sz[v]) + dp[u][1] + w*(n - sz[u]);
    dfs2(v, u);
  }
}
void print(__int128 x)
{
  static int buf[70], tp;
  tp = 0;
  if(!x) buf[tp = 1] = 0;
  while(x)
  {
    buf[++tp] = x%10;
    x /= 10;
  }
  for(int i=tp; i>=1; i--) printf("%d", buf[i]);
}
void solve(int kase)
{
  scanf("%d", &n);
  for(int i=1; i<=n; i++) G[i].clear(), dp[i][0] = dp[i][1] = 0;
  for(int i=1; i<n; i++)
  {
    int u, v, w;
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
    G[u].emplace_back(v, w); G[v].emplace_back(u, w);
  }
  dfs(1, 0); dfs2(1, 0);
  vector<ll> alldis(n, 0);
  for(int i=1; i<=n; i++) alldis[i-1] = dp[i][0] + dp[i][1];
  sort(begin(alldis), end(alldis)); reverse(begin(alldis), end(alldis));
  __int128 ans = 0;
  for(int i=1; i<n; i++) ans += (__int128)i*alldis[i];
  printf("Case #%d: ", kase); print(ans); puts("");
}
int main()
{
  int _; scanf("%d", &_);
  for(int kase=1; kase<=_; ++kase) solve(kase);
  return 0;
}